y′ = 47·y + 22

Tenglama yechimini ko‘rsatamiz y′ = a·y + b: qadamlar, javob formulasi va tekshirish.

Koeffitsiyentlar so'z bilan: a = сорок семь, b = двадцать два.

y′ = 47·y + 22

y(x) = C·e^(47·x) - 22/47

Berilgan: y′ = 47·y + 22
Ko‘rinishga keltiramiz: y′ − a·y = b
1) Integratsiyalovchi ko‘paytma:
   μ(x) = e^(−47·x)
2) Tenglamani μ(x) ga ko‘paytiramiz:
   (y′ − a·y)·μ = b·μ
3) Chap qism to‘liq hosilga aylanadi:
   (y·μ)′ = b·μ
4) Integratsiya qilamiz:
   y·μ = ∫ b·μ dx + C
5) y ni ifodalaymiz:
   y(x) = C·e^(47·x) − 22/47
Javob: y(x) = C·e^(47·x) - 22/47

1-qadam: a·y ni chapga ko'chiramiz: y′ − a·y = b.

2-qadam: integratsiyalovchi ko'paytuvchi μ(x)=e^(−a·x) ni olamiz.

3-qadam: ko'paytirgandan so'ng, chap qismi to'liq hosilaga aylanadi (y·μ)′.

4-qadam: o'ng qismini integratsiyalaymiz va C doimiyligini qo'shamiz.

5-qadam: e^(a·x) ga ko'paytiramiz va umumiy yechim y(x) ni olamiz.

Agar a=0 bo‘lsa, y′=b ga ega bo‘lamiz. Agar a≠0 bo‘lsa, integratsiyalovchi ko‘paytmani qo‘llaymiz va C konstantasi bilan umumiy yechimni olamiz.

Yechimni tekshiramiz: y′ ni hisoblaymiz va a·y+b bilan solishtiramiz — mos kelishi kerak.

C doimiyligi nima degani?
Bu, differensial tenglamalar oilasini aks ettiruvchi ixtiyoriy doimiydir.

Integratsiyalovchi ko'paytuvchi bo'lmasdan qachon yechish mumkin?
a = 0 bo'lganda: tenglama y′ = b ga aylanadi va to'g'ridan-to'g'ri integratsiyalash orqali yechiladi.

Tekshirish nima uchun kerak?
Yechimni qo'yganimizdan so'ng, hosila y′ a·y + b ifodasi bilan mos kelishini ta'minlash uchun.